Geometrische und strukturerhaltende Methoden

Geometrische und strukturerhaltende Methoden

Die Geometriegruppe des Bereichs nutzt die abstrakten mathematischen Strukturen, die den Modellen der Plasmaphysik zugrunde liegen, um numerische Algorithmen zu entwerfen, die qualitative Eigenschaften der physikalischen Systeme erhalten.


Das Verhalten sowohl von Fusions- als auch von astrophysikalischen Plasmen ist von einer Vielzahl physikalischer Phänomene geprägt und durch deren Zusammenspiel hochgradig kompliziert. Dies spiegelt sich in den mathematischen Modellen der Plasmaphysik wieder, die oft äußerst komplex sind, insbesondere wenn die Modelle physikalisch realistisch sein sollen und alle Details der Geometrie, der Randbedingungen und der physikalischen Prozesse berücksichtigen sollen.

Auf einer höheren Ebene mathematischer Abstraktion zeigen solche komplizierten Modelle häufig eine reichhaltige und elegante "Struktur", die oft in Begriffen der modernen geometrischen Mechanik verstanden werden können. Strukturerhaltende Methoden nutzen solche mathematischen Strukturen aus, um qualitativ besserer numerische Lösungen zu erhalten, die physikalische Erhaltungssätze bewahren. Die Geometriegruppe entwickelt neue effiziente Algorithmen für Probleme, die mit Standardverfahren nicht oder nur extrem langsam lösbar sind, sowie bessere Formulierungen reduzierter Modelle, die die Struktur der ursprünglichen Modelle erhalten.

Geometrische numerische Integration

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Vergleich zwischen Standard-Runge-Kutta-Verfahren und geometrischem Integrator für die Bewegung eines geladenen Teilchens in einem ITER-ähnlichen Solov'ev-Gleichgewicht. Während der geometrische Integrator die Teilchenbahn für tausende Umläufe korrekt beschreibt, resultiert der Standardintegrator in einem monotonen Abfall des Orbits.

Viele energieerhaltende Modelle der Plasmaphysik sind Hamiltonsche dynamische Systeme. Dabei ist die Hamilton-Funktion meist durch die Energie des Systems gegeben, und die Dynamik wird durch geeignete Poisson-Klammern erzeugt. Dies ist sowohl bei der idealen Magnetohydrodynamik als auch beim Vlasov-Maxwell-System der Fall. Das Erhalten der Hamiltonschen Struktur auf der diskreten Ebene garantiert gute qualitative Eigenschaften der numerischen Lösung wie z.B. Fehlerschranken wichtiger Größen wie etwa der Energie.

Viele Modelle der Plasmaphysik weisen auch eine Variationsstruktur auf, die mit Hilfe von Variationsintegratoren diskretisiert werden kann. Dies führt zu numerischen Methoden, die wichtige Erhaltungssätze wie Impulserhaltung exakt berücksichtigen und das physikalische Verhalten des Systems auch für sehr lange Simulationszeiten qualitativ korrekt wiedergeben. Die Anwendung von Variationsintegratoren sowohl auf Plasmateilchendynamik (gewöhnliche Differentialgleichungen) als auch auf Plasmafeldtheorien (partielle Differentialgleichungen) erfordert eine Erweiterung der Theorie, um ihre Anwendbarkeit auf die Guiding-Centre-Dynamik, die Magnetohydrodynamik sowie auf die kinetischen Modelle zu ermöglichen.

Magnetohydrodynamische Gleichgewichte und stationäre Transportmodelle

Wir konstruieren mathematische dynamische Systeme, die Entropiefunktionale maximieren, um sehr schnell stationäre Lösungen von physikalischen Systemen zu berechnen. Diese dynamischen Systeme können, wenn vorhanden, mit Hilfe der zugrunde liegenden Hamiltonschen Struktur oder ansonsten durch ad-hoc Mechanismen konstruiert werden. Typische Anwendungen sind magnetohydroynamische Gleichgewichte sowie stationäre Transportmodelle.

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Vortizitätsgleichung in zwei Dimensionen. Links: Ideale Dynamik. Rechts: Metriplektische Dynamik. Die metriplektische Dynamik treibt das Fluid rasch in ein Gleichgewicht der idealen Dynamik.

Finite-Elemente-Analyse von Sattelpunktproblemen

Ein weiteres Beispiel mathematischer "Strukturen", die nicht notwendigerweise in die Kategorie der geometrischen Mechanik fällt, sind Sattelpunktprobleme für Transportgleichungen mit Zwangsbedingungen. Die Finite-Elemente-Analyse solcher Sattelpunktprobleme ist ein neuer Ansatz zur Bestimmung des selbstkonsistenten elektrostatischen Potentials, das in Transportmodellen zur Beschreibung des Plasmarands auftritt.

Semiklassische Asymptotik und mikrolokale Methoden

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Konturen des Wellenfeldes eines paraxialen Strahls auf der zweidimensionalen Ebene, zusammen mit der dreidimensionalen Darstellung der zugehörigen Lagrangeschen Mannigfaltigkeit. Die Lagrangesche Mannigfaltigkeit ist eine Untermannigfaltigkeit des vierdimensionalen Phasenraums, der als geometrische Darstellung der Phase des Wellenfeldes betrachtet werden kann.

Hamiltonsche Mechanik spielt auch in der Beschreibung von hochfrequenten Wellen in Fusionsplasmen eine wichtige Rolle. In diesem Fall ist die Hamiltonsche Struktur "versteckt", kann aber durch die Anwendung von semiklassischen oder mikrolokalen Methoden offengelegt werden. Numerische Codes, die auf diesen Techniken basieren, sind gleichzeitig einfach strukturiert und effizient, obwohl sie die essentielle Physik der Wellenausbreitung vollständig beschreiben. Anwendungen beinhalten die Beschreibung der Plasmaheizung, des Stromtriebs sowie der Diagnostiksysteme in magnetischen Fusionsexperimenten.

Numerische Codes

  • WKBeam
    Monte-Carlo-Löser für Elektron-Zyklotron-Wellen, entwickelt in Zusammenarbeit mit dem Bereich für Tokamaktheorie.

  • GeomDAE.jl
    Bibliothek geometrischer Integratoren für gewöhnliche Differentialgleichungen und Differential-algebraische Gleichungen in Julia.

  • viIMHD2D, viRMHD2D, viVlasov1D
    Referenzimplementierungen von Variationsintegratoren für ideale Magnetohydrodynamik (viIMHD2D), reduzierte Magnetohydrodynamik (viRMHD2D) und das Vlasov-Poisson-System (viVlasov1D).

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