Finite Elemente Methoden

Finite Elemente Methoden

Die Finite-Elemente-Gruppe untersucht numerische Modelle mit verbesserten Stabilitäts- und Strukturerhaltungseigenschaften, mit besonderem Schwerpunkt auf Problemen, die im Elektromagnetismus und in der Plasmaphysik auftreten

Aufgrund des Aufkommens mehrerer Skalen und nichtlinearer Wechselwirkungen führt die numerische Simulation von Plasmen oft zu Rechenproblemen von enormer Komplexität. Numerische Methoden müssen daher rechnerisch effizient, genau und auf sehr langen Zeitskalen stabil sein. Was die Raumdiskretisierungsmethoden und insbesondere die Finite-Elemente-Methoden betrifft, so ist seit einigen Jahrzehnten bekannt, dass die Approximation für lange Zeitskalen und die Stabilitätseigenschaften sowie die Erhaltung wichtiger physikalischer Invarianten eng mit der Erhaltung algebraischer Funktionsstrukturen wie DeRham-Sequenzen und Helmholtz-Zerlegungen auf der diskreten Ebene verbunden sind. In diesem Rahmen kann die inhärente Stabilität der Diskretisierungsräume dann mithilfe von Projektionsoperatoren ausgedrückt werden, die den kontinuierlichen und diskreten DeRham-Sequenzen eine Struktur in Form eines kommutierenden Diagramms verleihen. Im Laufe der Jahre wurden mehrere strukturerhaltende Methoden auf Basis dieser Erkenntnis entwickelt, einschließlich der historischen Kanten- und Flächenelemente, welche zu sehr erfolgreichen Diskretisierungen einer Vielzahl von Problemen, wie zum Beispiel den Maxwell-Gleichungen, geführt haben. Insbesondere die Finite-Elemente-Methoden, die ein stabiles kommutierendes DeRham-Diagramm besitzen, sind dafür bekannt, dass sie selbst für elektromagnetische Felder mit geringer Glattheit genau, frei von störenden Eigenmoden und über sehr lange Zeitbereiche stabil sind. Sie sind auch natürlich konsistent mit den divergierenden Gauß-Bedingungen für die Felder. In der Gruppe untersuchen wir verschiedene Erweiterungen dieser Methoden für Anwendungen in Hamiltonischen-Plasma-Modellen und Kopplung mit diskreten Teilchenschemata auf allgemeine Geometrien.

Strukturerhaltende Finite-Elemente-Diskretisierungen für Maxwell- und Vlasov-Maxwell-Gleichungen beruhen auf zwei diskreten De-Rham-Sequenzen in Dualität, welche dieselben FEM-Räume einbeziehen (mittlere Reihe), sowie auf zwei Sequenzen kommutierender Approximationsoperatoren (vertikale Pfeile), die den Kopplungsmechanismen von Teilchen und Feld entsprechen.

Strukturerhaltende Kopplung mit kinetischen Modellen

Jüngste Forschungen haben gezeigt, dass strukturerhaltende Finite-Elemente, die auf kommutierenden Projektionsoperatoren basieren, einen kanonischen Ansatz für Variationelle Diskretisierungen nichtlinearer kinetischer Probleme wie die Vlasov-Maxwell-Gleichungen bieten, die die hamiltonische Struktur der kontinuierlichen Modelle auf der diskreten Ebene erhalten. Ein Forschungsbereich ist die Entwicklung einer einheitlichen Analyse solcher Methoden und für spezifische Probleme die Entwicklung neuer Diskretisierungsmethoden, die eine effiziente Kopplung mit kinetischen und hybriden Modellen ermöglichen.

Die Forschung zu diesem Thema wird in Zusammenarbeit mit der Kinetic und der Geometric Gruppe durchgeführt.

Matrizen mit konzentrierter Masse höherer Ordnung auf allgemeinen Geometrien

Um die Effizienz und Lokalität der numerischen Schemata zu verbessern, werden in der Gruppe mehrere verschiedene Methoden untersucht. Eine basiert auf einer neuen strukturerhaltenden Diskretisierung, die vollständig diskontinuierliche Finite-Element-Räume beinhaltet. Diese Technik hat zu einer neuen Klasse von Schemata namens Conga für konforme/nicht-konforme Galerkin Approximationen geführt, die blockdiagonale Massematrizen haben und eine Diskretisierung der Maxwell-Gleichungen bietet, die im Gegensatz zu den diskontinuierlichen Galerkin-Standardverfahren sowohl Energie-erhaltend als auch spektral korrekt ist.

Die Forschung zu diesem Thema wird in Zusammenarbeit mit der MHD Gruppe durchgeführt.

Psydac: eine Finite-Elemente Bibliothek

Psydac ist eine High-Level-Finite-Elemente Bibliothek in Python 3, die Splines hoher Ordnung, abgebildete Gebiete und MPI-Parallelisierung verwendet. Um Psydac zu verwenden, stellt der Benutzer eine Geometrie analytisch oder durch eine Eingabedatei zur Verfügung und definiert dann die Modellgleichungen in symbolischer Form (schwache Formulierung) unter Verwendung von Sympde, das die mathematischen Ausdrücke bereitstellt und die semantische Gültigkeit des Modells überprüft.
Nachdem eine Finite-Element-Diskretisierung gewählt wurde, bildet Psydac die abstrakten Konzepte auf konkrete Objekte ab, wobei die Grundbausteine MPI-verteilte Vektoren und Matrizen sind. Für alle rechenintensiven Operationen (Matrix- und Vektor-Konstruktion, Matrix-Vektor-Produkte usw.) generiert Psydac Ad-hoc-Python-Code, der entweder mit Numba oder Pyccel beschleunigt wird.

Die Forschung zu diesem Thema wird in Zusammenarbeit mit der MHD Gruppe durchgeführt.

Ausgewählte Publikationen

1.
Patrizi, F.; Manni, C.; Pelosi, F.; Speleers, H.:
Adaptive refinement with locally linearly independent LR B-splines: Theory and applications
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 369, 113230 (2020)
2.
Zoni, E.; Güclü, Y.: Solving hyperbolic-elliptic problems on singular mapped disk-like domains with the method of characteristics and spline finite elements. Journal of Computational Physics 398, 108889 (2019)
3.
Campos Pinto, M.; Sonnendrücker, E.:
Compatible Maxwell solvers with particles: conforming and non-conforming 2D schemes, parts I and II
Journal of Computational Mathematics 3, 53-89 and 91-116 (2017)
4.
Campos Pinto, M.; Sonnendrücker, E.: Gauss-compatible Galerkin schemes for time-dependent Maxwell equations. Mathematics of Computation 85, S. 2651 - 2685 (2016)

Numerische Software

  • Psydac: Python Finite-Elemente Bibliothek
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